Logga in

Teknik 1 · Mekanik · Kapitel 7

Vridmoment och jämvikt

Hittills har vi räknat på krafter som angriper i en och samma punkt. Men krafter kan också få saker att vrida sig — en mutter, en gungbräda, en dörr. Då räcker det inte att krafterna tar ut varandra; även deras vridande verkan måste ta ut varandra.

Läs genomgången och räkna exemplen först — sedan testar du i simuleringen längst ner.

Osäker på en beteckning eller enhet? Se tabellen över storheter och enheter.

Vad är vridmoment?

Det är mycket lättare att lossa en mutter om du håller långt ut på skiftnyckelns skaft än om du håller nära muttern — trots att du drar lika hårt. Kraften långt ut ger ett större vridmoment.

FAFBlAlB
Samma kraft längre ut på skaftet (B) ger större vridmoment än nära muttern (A).

Vridmoment är en krafts förmåga att vrida något kring en vridningspunkt. Det definieras som produkten av kraften och det vinkelräta avståndet mellan kraftens angreppslinje och vridningspunkten (hävarmen).

M=F⋅lM = F \cdot l

M = moment (Nm), F = kraft (N), l = det vinkelräta avståndet (m)

Kom ihåg

Enheten är newtonmeter (Nm): N · m = Nm. Avståndet ska alltid vara det vinkelräta avståndet till kraftens linje — drar du snett på skiftnyckeln blir hävarmen kortare och momentet mindre.

Jämvikt — två villkor

Sedan tidigare vet vi att summan av alla krafter är noll när ett föremål är i jämvikt. Nu tillkommer ett villkor till: även summan av alla vridmoment måste vara noll, annars börjar föremålet rotera.

ΣF=0\Sigma F = 0

Kraftjämvikt — t.ex. uppåt positivt

ΣM=0\Sigma M = 0

Momentjämvikt — t.ex. medurs positivt

F1F2F3L₁L₂vridningspunkt
Jämvikt: F₁ · L₁ = F₂ · L₂ — den tyngre sitter närmare vridningspunkten.

För gungbrädan ovan, med gungbrädans mitt som vridningspunkt:

  • Kraftjämvikt (uppåt positivt): F₃ − F₁ − F₂ = 0
  • Momentjämvikt (medurs positivt): F₂ · L₂ − F₁ · L₁ = 0, alltså F₁ · L₁ = F₂ · L₂

Exempel · Gungbräda

En vuxen med tyngden 800 N sitter 1,2 m från gungbrädans mitt. Hur långt från mitten på andra sidan ska ett barn med tyngden 400 N sitta för att gungbrädan ska vara i jämvikt?

Visa lösning

Momentjämvikt kring mitten:

F1⋅L1=F2⋅L2F_1 \cdot L_1 = F_2 \cdot L_2

Lös ut L₂:

L2=F1⋅L1/F2=800⋅1,2/400L_2 = F_1 \cdot L_1 / F_2 = 800 \cdot 1{,}2 / 400

Svar: Barnet ska sitta 2,4 m från mitten — dubbelt så långt ut som den vuxne.

Välj vridningspunkten smart

Du får välja vilken punkt som helst som vridningspunkt — i jämvikt är momentsumman noll kring alla punkter. Välj därför en punkt där en okänd kraft angriper: den krafts hävarm blir noll, så den försvinner ur ekvationen och du får färre okända att räkna med.

Exempel · Skottkärra

På en skottkärra vars tomvikt är 30 kg ligger fyra säckar som väger 50 kg styck. Kärrans tyngdpunkt inklusive last framgår av figuren. Hur stor blir kraften F i handtagen, och är det möjligt att köra kärran?

F1F300900 (mm)
Hjulets centrum är vridningspunkt. Tyngdpunkten ligger 300 mm från hjulet, handtagen 1 200 mm.
Visa lösning

Total massa och tyngd (med g ≈ 10 m/s²):

m=30+4⋅50=230 kg  ⇒  F1≈2 300 Nm = 30 + 4 \cdot 50 = 230\,\text{kg} \;\Rightarrow\; F_1 \approx 2\,300\,\text{N}

Välj hjulets centrum som vridningspunkt — då påverkar kraften från marken inte momentet. Hävarmar:

l1=0,3 m,l=0,3+0,9=1,2 ml_1 = 0{,}3\,\text{m},\quad l = 0{,}3 + 0{,}9 = 1{,}2\,\text{m}

Momentjämvikt:

F1⋅l1−F⋅l=0  ⇒  F=F1⋅l1/lF_1 \cdot l_1 - F \cdot l = 0 \;\Rightarrow\; F = F_1 \cdot l_1 / l

Sätt in värdena:

F=2 300⋅0,3/1,2=690/1,2=575 NF = 2\,300 \cdot 0{,}3 / 1{,}2 = 690 / 1{,}2 = 575\,\text{N}

Svar: Du behöver lyfta med ca 575 N — ungefär som att lyfta 58 kg. Det går, men det är rätt tungt. (Med g = 9,82 m/s² blir svaret ca 565 N.)

Exempel · Planka på två bockar

Plankan i figuren belastas mitt på med en punktkraft F = 150 N. Vi bortser från plankans egen vikt. Beräkna reaktionskrafterna i stöden A och B.

FF1AF2B0,6 m3,6 m
En punktkraft F = 150 N mitt på plankan. Stöden A och B ger reaktionskrafterna F₁ och F₂.
Visa lösning

Välj stödet A som vridningspunkt — då försvinner F₁ ur momentekvationen. Hävarmar från A:

F ⁣: l/2=1,8 m,F2 ⁣: 3,6−0,6=3,0 mF\!:\ l/2 = 1{,}8\,\text{m},\quad F_2\!:\ 3{,}6 - 0{,}6 = 3{,}0\,\text{m}

Momentjämvikt kring A (medurs positivt):

ΣMA=150⋅1,8−F2⋅3,0=0\Sigma M_A = 150 \cdot 1{,}8 - F_2 \cdot 3{,}0 = 0

Lös ut F₂:

F2=150⋅1,8/3,0=270/3=90 NF_2 = 150 \cdot 1{,}8 / 3{,}0 = 270 / 3 = 90\,\text{N}

Kraftjämvikt i lodled (uppåt positivt):

F1+F2−F=0  ⇒  F1=150−90=60 NF_1 + F_2 - F = 0 \;\Rightarrow\; F_1 = 150 - 90 = 60\,\text{N}

Svar: F₁ = 60 N och F₂ = 90 N.

Tänk efter

Stöd B sitter närmare kraften F än stöd A gör. Stämmer det med att F₂ blev större än F₁?

Snabbkoll

Har du förstått?

1.Du drar med 50 N vinkelrätt mot en skiftnyckel, 0,4 m från muttern. Hur stort blir vridmomentet?

2.Vilken enhet har vridmoment?

3.Varför väljer man gärna vridningspunkten där en okänd kraft angriper?

4.Två barn väger 300 N och 450 N. Det lätta barnet sitter 1,5 m från gungbrädans mitt. Var ska det tunga sitta för jämvikt?

Testa själv

Simuleringar

Vridmoment med skiftnyckel

Prova:

  1. Håll vinkeln på 90° och flytta greppet utåt. Vad händer med momentet när du dubblar l?
  2. Ändra vinkeln. Den lila linjen är det vinkelräta avståndet — varför blir den kortare när du drar snett?
  3. Vid vilken vinkel blir momentet hälften så stort som vid 90°?

Moment och jämvikt på en gungbräda

Prova:

  1. Ge A och B samma massa. Var måste de stå för att gungbrädan ska väga jämnt?
  2. Dubbla massan på B. Hur långt från mitten ska B stå nu, jämfört med A?
  3. Välj egna massor, räkna först ut var B ska stå med F₁ · L₁ = F₂ · L₂, och kontrollera sedan.