Logga in

Teknik 1 · Mekanik · Kapitel 6

Lutande plan

Det lutande planet kombinerar allt från de tidigare kapitlen: friläggning, komposantuppdelning med trigonometri, normalkraft och friktion. Frågan vi vill kunna svara på: ligger klossen kvar, eller glider den ner?

Läs genomgången och räkna exemplen först — sedan testar du i simuleringen längst ner.

Osäker på en beteckning eller enhet? Se tabellen över storheter och enheter.

Krafterna på ett lutande plan

αFgFg sin αFg cos αFNFfα
Tyngdkraften delas upp i en komposant längs planet och en vinkelrätt mot planet.
Fg
Tyngdkraften — pekar alltid rakt nedåt.
Fg sin α
Tyngdkraftens komposant parallellt med planet. Det är den som drar klossen nedför.
Fg cos α
Tyngdkraftens komposant vinkelrätt mot planet. Den pressar klossen mot underlaget.
FN
Normalkraften — vinkelrät mot planet, lika stor som Fg cos α men motriktad.
Ff
Friktionskraften — längs planet, riktad uppåt (mot den rörelse som skulle uppstå).

Varför blir det just sin α och cos α? Vinkeln mellan tyngdkraften och normalens riktning är samma vinkel α som planet lutar. I den rätvinkliga triangel som tyngdkraften och dess komposanter bildar är tyngdkraften hypotenusan; komposanten vinkelrätt mot planet ligger intill vinkeln (cosinus) och komposanten längs planet ligger mitt emot (sinus).

Glider klossen?

  • Frilägg klossen och dela upp tyngdkraften i komposanter.
  • Beräkna Fg sin α, Fg cos α, FN och den största möjliga friktionen Ff = μ · FN.
  • Jämför: är Fg sin α > Ff? Då glider klossen. Annars ligger den kvar.
Fgsin⁡α>μ⋅Fgcos⁡αF_g \sin\alpha > \mu \cdot F_g \cos\alpha

Klossen glider om komposanten längs planet är större än den största friktionen

Exempel

Exempel · Kloss på 12°

En kloss med massan 1 400 kg (tyngdkraft Fg ≈ 14 000 N om vi räknar med g ≈ 10 m/s²) ligger på ett lutande plan. Vinkeln α är 12° och friktionstalet μ är 0,3. Kommer klossen att ligga kvar?

Visa lösning

Komposanten längs planet:

Fgsin⁡α=14 000⋅sin⁡12∘≈2 911 NF_g \sin\alpha = 14\,000 \cdot \sin 12^\circ \approx 2\,911\,\text{N}

Komposanten vinkelrätt mot planet, som också ger normalkraften:

FN=Fgcos⁡α=14 000⋅cos⁡12∘≈13 694 NF_N = F_g \cos\alpha = 14\,000 \cdot \cos 12^\circ \approx 13\,694\,\text{N}

Största möjliga friktion:

Ff=0,3⋅13 694≈4 108 NF_f = 0{,}3 \cdot 13\,694 \approx 4\,108\,\text{N}

Jämför:

2 911 N<4 108 N2\,911\,\text{N} < 4\,108\,\text{N}

Svar: Friktionen räcker till — klossen ligger kvar.

Exempel · Samma kloss på 20°

Samma kloss och samma friktionstal (μ = 0,3), men nu lutar planet 20°. Ligger klossen kvar?

Visa lösning

Komposanten längs planet:

Fgsin⁡α=14 000⋅sin⁡20∘≈4 788 NF_g \sin\alpha = 14\,000 \cdot \sin 20^\circ \approx 4\,788\,\text{N}

Normalkraften:

FN=14 000⋅cos⁡20∘≈13 156 NF_N = 14\,000 \cdot \cos 20^\circ \approx 13\,156\,\text{N}

Största möjliga friktion:

Ff=0,3⋅13 156≈3 947 NF_f = 0{,}3 \cdot 13\,156 \approx 3\,947\,\text{N}

Jämför:

4 788 N>3 947 N4\,788\,\text{N} > 3\,947\,\text{N}

Svar: Friktionen räcker inte — klossen glider.

Genväg: gränsvinkeln

Dela båda sidor i Fg sin α > μ · Fg cos α med Fg cos α så får du tan α > μ. Massan tar ut sig själv — en tung och en lätt kloss av samma material börjar glida vid samma vinkel. Med μ = 0,3 är gränsvinkeln tan⁻¹(0,3) ≈ 16,7°, vilket stämmer med att klossen låg kvar vid 12° men gled vid 20°.

Snabbkoll

Har du förstått?

1.Vilken komposant av tyngdkraften drar klossen nedför planet?

2.Vad händer med normalkraften när planets lutning ökar?

3.Två klossar av samma material men med olika massa ligger på samma plan, som lutas sakta mer och mer. Vilken börjar glida först?

4.Friktionstalet är 0,3. Ungefär vid vilken lutning börjar klossen glida?

Testa själv

Simuleringar

Kloss på lutande plan

Prova:

  1. Slå på friktion och ställ in μ = 0,30. Ligger klossen kvar vid 12°? Vid 20°?
  2. Öka vinkeln en grad i taget. Vid vilken vinkel börjar klossen glida? Jämför med gränsvinkeln 16,7°.
  3. Ändra massan medan vinkeln är fast. Ändras svaret på om klossen glider? Varför inte?
  4. Stäng av friktionen. Varför glider klossen då vid alla vinklar?