Logga in

Teknik 1 · Mekanik · Kapitel 4

Trigonometri och komposantuppdelning

När två krafter drar i olika riktningar — men inte vinkelrätt mot varandra — räcker det inte med att addera eller använda Pythagoras sats. Då delar vi upp varje kraft i en vågrät och en lodrät del med hjälp av trigonometri, räknar ihop delarna var för sig och sätter sedan ihop dem igen.

Läs genomgången och räkna exemplen först — sedan testar du i simuleringen längst ner.

Osäker på en beteckning eller enhet? Se tabellen över storheter och enheter.

Sinus, cosinus och tangens

I en rätvinklig triangel kallas den längsta sidan (mitt emot den räta vinkeln) hypotenusa. De två andra sidorna är kateter. Sett från vinkeln v är a den motstående kateten och b den närliggande kateten.

vabc
a är motstående katet, b närliggande katet och c hypotenusan — sett från vinkeln v.
sin⁡v=ac\sin v = \frac{a}{c}

motstående katet / hypotenusa

cos⁡v=bc\cos v = \frac{b}{c}

närliggande katet / hypotenusa

tan⁡v=ab\tan v = \frac{a}{b}

motstående katet / närliggande katet

Kvoterna beror bara på vinkeln, inte på hur stor triangeln är. Därför kan vi använda dem baklänges: vet vi hypotenusan och vinkeln kan vi räkna ut kateterna.

a=c⋅sin⁡vochb=c⋅cos⁡va = c \cdot \sin v \quad \text{och} \quad b = c \cdot \cos v

Vet vi i stället två sidor och vill ha vinkeln använder vi den omvända funktionen på räknaren (sin⁻¹, cos⁻¹ eller tan⁻¹).

Komposantuppdelning

En kraft F som bildar vinkeln v med x-axeln kan delas upp i två komposanter — en i x-led och en i y-led. Kraften är hypotenusan och komposanterna är kateterna:

Fx=F⋅cos⁡vochFy=F⋅sin⁡vF_x = F \cdot \cos v \quad \text{och} \quad F_y = F \cdot \sin v

v mäts från x-axeln (vågrätt)

Se upp med vinkeln

Formlerna ovan gäller när vinkeln mäts mot x-axeln. Mäts vinkeln mot y-axeln (lodrätt) byter sinus och cosinus plats. Rita alltid ut triangeln och kontrollera vilken katet som ligger intill vinkeln.

Så räknar du ut resultanten till flera krafter i olika riktningar:

  • Dela upp varje kraft i en x-komposant och en y-komposant.
  • Ge komposanterna tecken: höger och uppåt positivt, vänster och nedåt negativt.
  • Summera alla x-komposanter till Rx och alla y-komposanter till Ry.
  • Resultantens storlek: R = √(Rx² + Ry²).
  • Resultantens riktning: tan α = Ry / Rx.

Exempel

Exempel · Två hundar

Två hundar, Alba och Bobby, drar i varsitt horisontellt rep som båda är fästa i en stolpe. Vinkeln mellan repen är 40°. Alba drar med kraften 261 N och Bobby med kraften 319 N.

40°αAlba 261 NBobby 319 NR
Resultanten R är diagonalen i parallellogrammet som de två krafterna spänner upp.

a) Hur stor är den resulterande kraften? b) Vilken vinkel bildar den med Bobbys rep?

Visa lösning

Lägg x-axeln längs Bobbys rep. Bobby har då bara en x-komposant:

Bx=319 N,By=0B_x = 319\,\text{N},\quad B_y = 0

Dela upp Albas kraft:

Ax=261⋅cos⁡40∘≈199,9 N,Ay=261⋅sin⁡40∘≈167,8 NA_x = 261 \cdot \cos 40^\circ \approx 199{,}9\,\text{N},\quad A_y = 261 \cdot \sin 40^\circ \approx 167{,}8\,\text{N}

Summera i varje led:

Rx=319+199,9=518,9 N,Ry=167,8 NR_x = 319 + 199{,}9 = 518{,}9\,\text{N},\quad R_y = 167{,}8\,\text{N}

a) Resultantens storlek:

R=518,92+167,82≈545 NR = \sqrt{518{,}9^2 + 167{,}8^2} \approx 545\,\text{N}

b) Vinkeln mot Bobbys rep:

tan⁡α=167,8/518,9⇒α=tan⁡−1(0,323)≈17,9∘\tan\alpha = 167{,}8 / 518{,}9 \Rightarrow \alpha = \tan^{-1}(0{,}323) \approx 17{,}9^\circ

Svar: a) Resultanten är ca 545 N. b) Den bildar vinkeln ca 18° med Bobbys rep.

Exempel · Tre krafter

Tre krafter angriper i samma punkt enligt figuren. Bestäm resultantens storlek och riktning.

32°25°12 N15 N5 N
Tre krafter i samma punkt. Vinklarna mäts mot de grå hjälplinjerna.
Visa lösning

12 N-kraften: vinkeln 32° är mätt mot lodlinjen, så sin och cos byter plats. Den pekar åt höger och nedåt:

x ⁣: 12⋅sin⁡32∘≈6,36 N,y ⁣: −12⋅cos⁡32∘≈−10,18 Nx\!:\ 12 \cdot \sin 32^\circ \approx 6{,}36\,\text{N},\quad y\!:\ -12 \cdot \cos 32^\circ \approx -10{,}18\,\text{N}

15 N-kraften, 25° över vågrätt, åt höger och uppåt:

x ⁣: 15⋅cos⁡25∘≈13,59 N,y ⁣: 15⋅sin⁡25∘≈6,34 Nx\!:\ 15 \cdot \cos 25^\circ \approx 13{,}59\,\text{N},\quad y\!:\ 15 \cdot \sin 25^\circ \approx 6{,}34\,\text{N}

5 N-kraften pekar rakt nedåt:

x ⁣: 0,y ⁣: −5 Nx\!:\ 0,\quad y\!:\ -5\,\text{N}

Summera:

Rx=6,36+13,59≈19,95 N,Ry=−10,18+6,34−5≈−8,84 NR_x = 6{,}36 + 13{,}59 \approx 19{,}95\,\text{N},\quad R_y = -10{,}18 + 6{,}34 - 5 \approx -8{,}84\,\text{N}

Storlek och riktning:

R=19,952+8,842≈21,8 N,tan⁡α=8,84/19,95⇒α≈23,9∘R = \sqrt{19{,}95^2 + 8{,}84^2} \approx 21{,}8\,\text{N},\quad \tan\alpha = 8{,}84 / 19{,}95 \Rightarrow \alpha \approx 23{,}9^\circ

Svar: Resultanten är ca 21,8 N och pekar snett nedåt åt höger, ca 24° under vågrätt.

Snabbkoll

Har du förstått?

1.Vad är sin v i en rätvinklig triangel?

2.En kraft F bildar vinkeln v med x-axeln. Hur stor är x-komposanten?

3.En kraft på 10 N bildar vinkeln 30° med x-axeln. Hur stor är y-komposanten?

4.En kraft F bildar 20° med lodlinjen (y-axeln). Hur räknar du ut x-komposanten?

Testa själv

Simuleringar

Sinus, cosinus och tangens i en triangel

Prova:

  1. Ändra vinkeln. Vilka sidor ändras, och vilken är alltid 10 cm?
  2. Vid vilken vinkel är sin v och cos v lika stora? Vad är tan v då?
  3. Ställ in 30°. Kontrollera att den motstående kateten är 10 · sin 30° på din räknare.

Dela upp en vektor i komposanter

Prova:

  1. Dra pilspetsen och se hur Vx och Vy ändras. När är Vx = 0? När är Vy = 0?
  2. Välj en vektor, anteckna längd och vinkel och räkna ut komposanterna själv. Stämmer det?
  3. Dra vektorn till andra kvadranten (upp till vänster). Vilket tecken får komposanterna?

Fördjupning: enhetscirkeln

Prova:

  1. Dra punkten runt cirkeln. Punktens koordinater är (cos v, sin v) — kontrollera vid 0°, 90° och 180°.
  2. Varför blir cos v negativt mellan 90° och 270°? Jämför med en kraft som pekar åt vänster.